Податной инспектор — чиновник, следивший за соответствием величины налогов доходам налогоплательщиков и подававшему в Казенную палату сведения о сумме раскладочного сбора, которую без обременения плательщиков можно было бы назначить в следующем году.
Уездное училище — трехклассное учебное заведение, в основном, для детей купцов и мещан.
Губернский секретарь — гражданский чин 12 класса, соответствовавший армейскому подпоручику.
Ваше высокоблагородие! — В данном случае проситель использует титулование «не по чину»: губернский секретарь был всего лишь «вашим благородием».
…отдали в приготовительный класс… — имеется в виду подготовительный класс гимназии.